미분가능성은 '함수를 그 점에서 직선으로 잘 근사시킬 수 있음'을 뜻한다.

오늘 "함수로 표현된 것은 미분이 가능하다는 의미이다" 라는 말을 들었는데
무언가 이상해서 함수론 책을 열어보니 그 말은 거짓이다.

사진은 미분이 불가능한 함수의 예.

그리고 아래는 책에서 설명한 "미분 가능성"

미분가능성은 '함수를 그 점에서 직선으로 잘 근사시킬 수 있음'을 뜻한다. 그러므로 만약 어떤 점에서 아무리 확대해도 직선은 커녕 계속 복잡한 그래프가 계속 나타난다면, 그 함수는 그 점에서 미분이 불가능하다. 그리고 모든 점에서 이런 일이 일어난다면, 그 함수는 비록 연속함수일 지언즉, 미분이 어떤 점에서도 불가능하게 된다.
그리고 이런 미분 불가능한 함수 중 유명한 예로, Weierstrass function, Blancmange function 등이 있다. 이 함수들은 연속이지만, 어떤 점에서도 미분이 불가능한 형태이다.